INDUKSI MATEMATIKA

MATERI YANG DIPELAJARI INDUKSI MATEMATIKA
1. Logika matematika: pernyataan/kalimat, ingkaran/negasi, pernyataan majemuk (konjungsi, disjungsi, implikasi, bi implikasi), ekuivalensi pernyataan – pernyataan majemuk, konvers, implikasi (konvers, invers, kontraposisi), pernyataan berkuantor dan ingkarannya, penarik kesimpulan (Modus Ponen,  modus tollens, Modus Silogisme), table logika matematika 
2.  Pembuktian Barisan dengan metode: langsung, tak langsung, Kontradiksi, Induksi Matematika
3.  Membuktikan ketidaksamaan/ pertidaksamaan dengan cara langsung, tak langsung, kontradiksi, induksi matematika
4.  Membuktikan keterbagian dengan cara langsung, tak langsung, kontradiksi, induksi matematika

1. LOGIKA MATEMATIKA

Logika matematika adalah gabungan dari ilmu logika dan ilmu matematika. Logika berasal dari bahasa yunani kuno yaitu λόγος (logos), logos dapat diartikan sebagai hasil pertimbangan akal atau pikiran yang dinyatakan lewat kata atau bahasa. Sedangkan jika diartikan secara sistematis, logika dapat dianalisis berdasarkan nilai-nilai kebenaran.

Logika matematika digunakan untuk menganalisis kasus atau sebagai media penarik kesimpulan.

Tahap logika antara lain pernyataan, negasi, disjungsi, konjungsi, implikasi, biimplikasi,dua pernyataan yang ekuivalen, kalimat berkuantor, serta penarikan kesimpulan.

a. Pernyataan/kalimat, 

Pernyataan yaitu kalimat yang mempunyi nilai benar atau salah, tetapi dengan pernyataan keduanya (Benar-salah). Sebuah kalimat tidak dapat ditentukan sebagai pernyataan apabila kita tidak bisa menentukan kebenaran atau kesalahan dan bersifat relatif. Dalam logika matematika terdapat dua jenis pernyataan, yaitu pernyataan tertutup dan pernyataan terbuka.

 Pernyataan tertutup adalah kalimat pernyataan yang sudah bisa dipastikan nilai benar/salah nya.
Pernyataan terbuka adalah kalimat pernyataan yang belum dapat dipastikan nilai benar/salah nya.

Contoh :

- Semua orang hidup pasti bernafas, 10 x 10 = 100 (Sudah pasti benar / Pernyataan tertutup)

- Lampu terang berarti sedang mati, 10 - 2 = 12 (Sudah pasti salah / Pernyataan tertutup)

- Siapa yang ada di dalam kelas, 10 + x = 20 (Harus dibuktikan dahulu / Pernyataan terbuka)

b. Ingkaran/negasi, 

Negasi atau Ingkaran merupakan pernyataan yang isinya mengingkari pernyataan atau berisi kalimat sangakalan, negasi biasanya dibentuk dengan cara menambahkan kata “tidak benar bahwa” pada awal kalimatnya atau memberikan simbol ” ~” pada awal pernyataannya.

c. Pernyataan majemuk (konjungsi, disjungsi, implikasi, bi implikasi), 

 Pernyataan Majemuk adalah pernyataan yang di dalamnya terdapat dua atau lebih pernyataan yang dihubungkan dengan tanda ",", "dan", "atau", "jika ..., maka ... " dan " ... jika dan hanya jika ...."

i. Konjunsi

Konjungsi yaitu pernyataan majemuk yang dihubungkan dengan kata hubung “dan” atau disimbolkan dengan “^”. Pernyataan konjungsi hanya memiliki nilai benar jika kedua pernyataan di dalamnya bernilai benar. Jika salah satu pernyataan bernilai salah, maka pernyataan konjungsi juga bernilai salah.

Perhatikan tabel kesimpulan :

ii. Disjungsi

Disjungsi adalah pernyatan majemuk yang dihubungkan dengan kata “atau” yang disimbolkan dengan “V” . Disjungsi merupakan kebalikan dari konjungsi. Pernyataan disjungsi hanya akan bernilai salah jika kedua pernyataan yang terdapat didalamnya bernilai salah. Jika salah satu pernyataan bernilai benar, maka pernyataan disjungsi juga bernilai benar.

Perhatikan tabel dibawah ini.

iii. Implikasi

Implikasi yaitu pernyataan majemuk yang diawali dengan kata jika dan dihubungkan dengan kata hubung “maka” yang disimbolkan dengan “=>”. Misal “p => q” dibaca “p maka q”.

Perhatikan tabel dibawah ini

iv. Bi Implikasi

Bi Implikasi yaitu bentuk kompleks sari implikasi yang berarti “jika dan hanya jika” yang disimbolkan dengan “<=>”. Misal p <=> q dibaca “p jika dan hanya jika q”.

Perhatikan tabel dibawah ini.

p	q	p ↔ q	LOGIKA MATEMATIKA
B	B	B	p adalah BENAR jika dan hanya jika q adalah BENAR (dianggap benar)
B	S	S	p adalah BENAR jika dan hanya jika q adalah SALAH (dianggap salah)
S	B	S	p adalah SALAH jika dan hanya jika q adalah BENAR (dianggap salah)
S	S	B	p adalah SALAH jika dan hanya jika q adalah SALAH (dianggap benar)

d. Ekuivalensi pernyataan – pernyataan majemuk, 

Ekuivalensi pernyataan majemuk yaitu persesuaian yang diterapkan dalam pernyataan majemuk, metode ini kita dapat mengetahui negasi dari pernyataan majemuk: konjungsi, disjungsi, implikasi dan juga biimplikasi. Konsep ekuivalensi dinyatakan dalam rumus-rumus tertentu, seperti rumus berikut ini.

e. Konvers, 

 Konvers merupakan kebalikan dari implikasi yaitu ditandai dengan pertukaran letak. Misalkan “p => q” , maka konvers nya adalah “q => p”.

f. Implikasi (konvers, invers, kontraposisi),

 Konvers merupakan kebalikan dari implikasi yaitu ditandai dengan pertukaran letak. Misalkan “p => q” , maka konvers nya adalah “q => p”.

Invers adalah lawan dari implikasi. Dalam invers, pernyataan yang terdapat pada pernyataan majemuk merupakan negasi dari pernyataan pada implikasi. Misal p => q, maka inversnya adalah ” ~p => ~q”

Sementara kontraposisi merupakan kebalikan daripada invers sama halnya dengan konvers, hanya pernyataan majemuknya merupakan negasi atau ingkaran. Misalkan invers “~p => ~q” . Maka kontraposisi nya adalah “~q => ~p”
 

g. Pernyataan berkuantor dan ingkarannya, 

Pernyataan kuantor yaitu bentuk pernyataan yang didalamnya terdapat konsep kuantitas. terdapat dua jenis kuantor, yaitu kuantor universal dan kuantor eksistensial.

• Kuantor universal digunakan dalam pernyataan yang menggunakan konsep setiap atau semua

• Kuantor eksistensial digunakan dalam pernyataan yang mengandung konsep ada, sebagian, beberapa, atau terdapat.

Pernyataan berkuantor memiliki negasi atau ingkaran. Negasi dari berkuantor universal adalah kuantor eksistensial begitu juga sebaliknya. Perhatikan contoh berikut.

• p : beberapa mahasiswa memiliki semangat belajar yang tinggi
• ∼p : semua mahasiswa tidak memiliki semangat belajar yang tinggi

h. Penarik kesimpulan (Modus Ponen,  modus tollens, Modus Silogisme), 

Kesimpulan dapat dilakukan dari beberapa pernyataan yang diketahui nilai kebenarnya yang disebut premis. Kemudian dengan menggunakan prinsip-prinsip yang ada diperoleh pernyataan yang baru yang disebut kesimpulan/konklusi yang diturunkan dari premis yang ada. Penarikan kesimpulan seperti itu sering disebut dengan argumentasi. Suatu argumentasi dikatakan sah Jika premis-premisnya benar maka konklusinya juga benar. Terdapat 3 metode dalam penarikan kesimpulan, yaitu : Modus ponens, Modus Tolens, dan Silogisme.

i. MODUS PONENS

premis 1 : p →q
premis 2 : p ( modus ponens)
__________________
Kesimpulan: q

Arti Modus Ponens adalah “jika diketahui p → q dan p, maka bisa ditarik kesimpulan q“.

sebagai contoh :

premis 1 : Jika guru datang ke kelas, saya akan merasa senang
premis 2 : Guru tidak datang
__________________
Kesimpulan: Saya tidak merasa senang

ii. MODUS TOLENS

premis 1 : p →q
premis 2 : ~q ( modus tollens)
__________________
Kesimpulan: ~p

Modus Tollens berarti “jika diketahu p → q dan ~q, maka bisa ditarik kesimpulan ~p“.

sebagai contoh :

premis 1 : Jika hari Senin, maka aku memakai seragam putih - putih
premis 2 : Aku memakai seragam putih - putih
___________________
Kesimpulan : Hari Senin

iii. SILOGIRME

       premis 1 : p→q

premis 2 : q → r ( silogisme)
_________________
Kesimpulan: p →r

Silogisme berarti “jika diketahu p → q dan q→r, maka bisa ditarik kesimpulan p→r“.

sebagai contoh :

Premis 1 : Jika masih pandemik corona, maka sekolah mengadakan pembelajaran jarak jauh.
Premis 2 : Jika mengadakan pembelajaran jarak jauh maka siswa tidak senang.
__________________________________________________
Kesimpulan: Jika masih pandemik corono, maka siswa tidak senang.

---

i. Table logika matematika

p	q	~p	~q	p^q	pvq	p → q	p ↔ q
B	B	S	S	B	B	B	B
B	S	S	B	S	B	S	S
S	B	B	S	S	B	B	S
S	S	B	B	S	S	B	B