VEKTOR

 

Pengertian Vektor

Vektor adalah besaran yang memiliki nilai dan arah, dan secara geometris digambarkan sebagai ruas garis berarah.

Vektor diwakili dengan anak panah, dimana panjang anak panah menunjukkan besarnya vektor dan arahnya dapat diindikasikan oleh sudut.

Satu vektor ditampilkan sebagai anak panah dengan titik awal dan titik akhirnya.

 

Notasi vektor bisa menggunakan satu atau dua huruf.

Vektor dapat ditulis sebagai

 

 

Panjang Vektor pada Bidang

Panjang vektor adalah nilai atau besaran vektor yang mengukur jarak dari titik pangkal ke titik ujungnya, dihitung menggunakan teorema Pythagoras dengan menjumlahkan kuadrat setiap komponen vektor dan kemudian mengakarkannya.

Rumusnya:

Vektor yang berada pada ruang tiga dimensi (x, y, z).jarak antara dua titik vector R³ diketahui dengan pengembangan rumus phytagoras. Jika titik  A (x₁ , y₁, z₁ ) dan titik maka jarak AB adalah:   

 

Nilai panjang vektor ini juga dikenal sebagai norma atau magnitude.

Menentukan panjang suatu vektor pada bidang (R2), kamu bisa menggunakan rumus berikut.

 

Jenis-Jenis Vektor Matematika

Vektor ternyata terbagi menjadi beberapa jenis, yaitu:

1.    Vektor Nol: vektor yang panjangnya nol dan tidak memiliki arah vektor yang jelas.

2.    Vektor Posisi: Suatu vektor yang posisi titik awalnya di O (0,0), sedangkan posisi titik ujungnya di satu titik tertentu (selain titik O).

3.    Vektor Satuan : Suatu vektor yang panjangnya satu satuan.

4.    Vektor Basis : Suatu vektor yang panjangnya satu satuan, tapi arahnya searah dengan sumbu koordinat.

 

Operasi Vektor pada Bidang

Operasi vektor pada bidang meliputi: penjumlahan, pengurangan, perkalian vektor dengan skalar, dan perkalian dua vector. Karena vektor merupakan salah satu bagian dari geometri, berarti vektor dapat digambarkan pada sebuah bidang (R2) atau sebuah ruang (R3). Kalau vektor berada pada bidang, maka akan dinyatakan dalam dua sumbu koordinat, yaitu sumbu-x dan sumbu-y. Sedangkan vektor yang berada pada ruang (R3), akan dinyatakan dalam tiga sumbu koordinat, yaitu sumbu-x, sumbu-y, dan sumbu-z. operasi vector secara geometris seperti dibawah ini:

1. Penjumlahan Vektor

Dalam penjumlahan dua vektor, secara geometri, terdapat dua macam cara penjumlahan yang bisa digunakan, yaitu: cara segitiga dan cara jajar genjang.

• Penjumlahan dua vektor dengan cara segitiga:

Penjumlahan vektor menggunakan Metode Segitiga (menyambung ujung vektor pertama ke pangkal vektor kedua).

• Penjumlahan dua vektor dengan cara jajar genjang:

Metode Jajar Genjang (membentuk jajar genjang dari dua vektor yang berasal dari satu titik awal, lalu menarik diagonal dari titik awal).

Namun, secara aljabar, penjumlahan vektor hanya menjumlahkan koordinat titik pusat vektor dengan titik ujungnya.

2. Pengurangan Vektor

Pengurangan dua vektor pada dasarnya sama dengan penjumlahan kedua vektor. Namun, secara geometri, yang membedakan adalah terdapat salah satu vektor yang memiliki arah berlawanan sehingga bernilai negatif. Sedangkan secara aljabar, hanya mengurangi titik-titik pada koordinat vektornya. Pengurangan vektor adalah penjumlahan vektor dengan vektor lawannya (arah berlawanan).

3. Perkalian Vektor dengan Skalar

Perkalian skalar dengan vektor menghasilkan vektor baru dengan panjang yang diubah (diperpanjang atau diperpendek) dan arah yang sama (jika skalar positif) atau berlawanan (jika scalar negatif).

Perkalian antara vektor dengan skalar adalah hasil kali suatu bilangan skalar k dengan sebuah vektor a.

Contoh hasil kali skalar (produk titik) dua vektor

Misal: a = (a₁, a₂, a₃) dan b = (b₁, b₂, b₃) adalah

Maka a ⋅ b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃.

contoh, untuk vektor a = (1, 2, 3) dan b = (2, -3, 5),

hasil kali skalarnya adalah a ⋅ b = (1)(2) + (2)(-3) + (3)(5) = 2 - 6 + 15 = 11.

Penjelasan Langkah-demi-Langkah 

1. Identifikasi Komponen Vektor:

Pastikan kedua vektor sudah dalam bentuk komponennya (misalnya, a₁, a₂, a₃).

2. Kalikan Komponen yang Sesuai:

Kalikan komponen pertama dari vektor a dengan komponen pertama dari vektor b, lalu lakukan hal yang sama untuk komponen kedua dan ketiga.

3. Jumlahkan Hasil Perkalian:

Tambahkan hasil perkalian dari setiap pasangan komponen yang bersesuaian untuk mendapatkan hasil kali skalar.

Contoh Soal dan Penyelesaian

Misalkan Anda memiliki dua vektor: 

• v₁ = i + 2j + 3k, yang dapat ditulis sebagai v₁ = (1, 2, 3).
• v₂ = 3i + 4j - 5k, yang dapat ditulis sebagai v₂ = (3, 4, -5).

Penyelesaian:

1. a₁b₁: (1)(3) = 3

2. a₂b₂: (2)(4) = 8

3. a₃b₃: (3)(-5) = -15

Jumlahkan hasil-hasil ini: 3 + 8 + (-15) = 11 - 15 = -4. 

Jadi, hasil kali skalar dari vektor v₁ dan v₂ adalah -4.

 

Besar sudut antara dua vector

Contoh besar sudut antara dua vektor a dan b dapat dihitung menggunakan rumus cosinus: cos θ = (a · b) / (|a| |b|) atau cos θ =  , di mana a · b adalah hasil perkalian titik kedua vektor, |a| adalah besar vektor a, dan |b| adalah besar vektor b. Jika hasil perhitungan cos θ adalah 1/2, maka besar sudutnya adalah 60°.

Langkah-langkah Menghitung Besar Sudut Antara Dua Vektor

1. Hitung Hasil Perkalian Titik (a · b)

o    Untuk vektor dua dimensi (misalnya, a = (a₁, a₂) dan b = (b₁, b₂)), perkalian titiknya adalah: a · b = a₁b₁ + a₂b₂.

o    Untuk vektor tiga dimensi (misalnya, a = (a₁, a₂, a₃) dan b = (b₁, b₂, b₃)), perkalian titiknya adalah: a · b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃.

2. Hitung Besar Vektor |a| dan |b|

o    Besar vektor a dihitung dengan rumus akar kuadrat dari kuadrat masing-masing komponennya: |a| = √(a₁² + a₂² + ...).

o    Besar vektor b dihitung dengan rumus yang sama: |b| = √(b₁² + b₂² + ...).

3. Gunakan Rumus Cosinus

o    Masukkan hasil dari langkah 1 dan 2 ke dalam rumus: cos θ = (a · b) / (|a| |b|).

4. Cari Nilai Sudut (θ)

o    Gunakan fungsi invers cosinus (arccos atau cos⁻¹) untuk mencari nilai sudut θ: θ = arccos [(a · b) / (|a| |b|)]. 

 

Contoh Sederhana

1. Misalkan dua vektor: a = (1, 2) dan b = (3, 1)

a · b = (1)(3) + (2)(1) = 3 + 2 = 5. 

  |a| = √(1² + 2²) = √(1 + 4) = √5. 

  |b| = √(3² + 1²) = √(9 + 1) = √10. 

  cos θ = 5 / (√5 * √10) = 5 / √50 = 5 / (5√2) = 1/√2. 

  θ = arccos(1/√2) = 45°. 

Jadi, besar sudut antara vektor a = (1, 2) dan b = (3, 1) adalah 45°.

 

2. Sudut antara vector dan adalah 60 ⁰, tentukan nilai p.

 

                                                        3 + p ² = ( – 1 + p ² ) 2            

                                                        3 + p ² = – 2 + 2 p ²

                                                           3 + 2 = 2 p ² – p ²

                                                                 5 = p ²

                                                                 p =