INDUKSI MATEMATIKA

2. Pembuktian Barisan dengan metode: 
a. langsung, 
 PEMBUKTIAN LANGSUNG diterapkan untuk membuktikan teorema yang berbentuk implikasi p → q . Di sini p sebagai hipotesis digunakan sebagai fakta yang diketahui atau sebagai asumsi. Selanjutnya, dengan menggunakan p kita harus menunjukkan berlaku q. Secara logika pembuktian langsung ini ekuivalen dengan membuktikan bahwa pernyataan p → q benar dimana diketahui p benar.
CONTOH
Buktikan 2 + 4 + 6 + … + 2n = n(n + 1), untuk masing-masing n bilangan asli.
 p : 2 + 4 + 6 + ... + 2n
 q : n(n + 1)
Bilangan asli = {1, 2, 3, ... , n}
misal n = 9 maka p : 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 + 16 + 18 = 90 pernyataan benar dan q : 9(9 + 1) = 90 juga pernyataan benar p ekuivalen dengan q maka 2 + 4 + 6 + ... + 2n = n(n + 1), untuk masing-masing n bilangan asli terbukti pernyataan benar
 
b. tak langsung, 
 PEMBUKTIAN TAK LANGSUNG diterapkan berdasarkan nilai kebenaran suatu implikasi p → q ekuivalen dengan nilai kebenaran kontraposisinya ~q → ~p. Jadi pekerjaan membuktikan kebenaran pernyataan implikasi dibuktikan lewat kontraposisinya.
CONTOH
Buktikan 2 + 4 + 6 + … + 2n = n(n + 1), untuk masing-masing n bilangan asli.
 p : 2 + 4 + 6 + ... + 2n dan ingkaran p = bukan 2 + 4 + 6 + ... + 2n
 q : n (n + 1)                 dan  ingkaran q = bukan n (n + 1)
n merupakan Bilangan Asli = {1, 2, 3, ..., n} akan dibuktikan bukan 2 + 4 + 6 + ... + 2n = bukan n (n + 1) dan Bilangan Asli =  { 1, 2, 3, 4, ...}
misal n = 4 maka p: 2 + 4 + 6 + 8 = 20 dan ingkarannya bukan 20 pernyataan salah dan q: 4(4 + 1) = 20 dan ingkarannya bukan 20 karena bukan 20 terbukti bukan 20 maka pembuktian tak langsung menunjukkan bahwa 2 + 4 + 6 + ... + 2n = n (n + 1) 


c. Kontradiksi, 
 PEMBUKTIAN DENGAN KONTRADIKSI diterapkan berdasarkan arti Suatu kontradiksi yaitu terjadi satu atau lebih pernyataan yang bertentangan.
CONTOH
Buktikan 2 + 4 + 6 + … + 2n = n(n + 1), untuk masing-masing n bilangan asli.
 p : 2 + 4 + 6 + ... + 2n
 q : n (n + 1) 
misalkan n = 7 maka 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 = 56 dan 7 (7 + 1) = 56 pernyataan benar
misalkan n = k maka 2 + 4 + 6 + ... + 2k dinyataka bukan k (k + 1) maka menjadi pernyataan salah karena menunjukkan bahwa hasil dari 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 = 56 dan 7 (7 + 1) = bukan 56 dan itu kontradiksi/bertentangan dengan pernyataan bahwa 2 + 4 + 6 + ... + 2n = n (n + 1) yang sebenarnya
adalh 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14 = 56 dan 7 (7 + 1) = 56 merupakan pernyataan benar jadi terbukti bertentangan/kontradiksi 2 + 4 + 6 + ... + 2n hasilnya bukan n (n + 1) 

melainkan 2 + 4 + 6 + … + 2n = n(n + 1) terbukti
 

d. Induksi Matematika
PEMBUKTIAN DENGAN INDUKSI MATEMATIKA diterapkan berdasarkan Prinsip induksi matematika yaitu untuk inferensi terhadap pernyataan tentang n dimana n berjalan pada himpunan bilangan bulat, biasanya himpunan bilangan asli atau pada himpunan bagian bilangan asli. Biasanya pernyataan tentang bilangan asli n dinyatakan dengan P(n). 
Prinsip INDUKSI MATEMATIKA adalah: (i) P(1) benar, (ii) jika P(k) benar maka P(k + 1) benar, Kesimpulannya maka P(n) benar untuk setiap n.
Menerapkan induksi matematika adalah untuk membuktikan kebenaran implikasi p → q pada (ii). Di sini kita perlu membuktikan kebenaran pernyataan P(k+1) dengan diketahui kebenaran P(k).
 CONTOH
Buktikan 2 + 4 + 6 + … + 2n = n(n + 1), untuk masing-masing n bilangan asli.
 p : 2 + 4 + 6 + ... + 2n
 q : n (n + 1) 

 akan dibuktikan dengan langkah Prinsip INDUKSI MATEMATIKA yaitu:
(i) P(1) benar, (ii) jika P(k) benar maka P(k + 1) benar, Kesimpulannya maka P(n) benar untuk setiap n.

 (i) P(1) 2 = 1 (1 + 1) maka P(1) membuktikan pernyataan benar 2 = 2

 (ii) P(k) atau P(5) 2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 5 (5 + 1) membuktikan pernyataan benar 30 = 30

bisa juga P(k) 2 + 4 + 6 + ... + 2k = k (k + 1) pernyataan benar maka

 (iii) P (k + 1) menjadi 2 + 4 + 6 + ... + 2 k + 2(k + 1) = (k + 1) [(k + 1) + 1] 

                                 atau 2 + 4 + 6 + ... + 2k + 2k + 2 = (k + 1)(k + 1 + 1)
                           atau (2 + 4 + 6 + ... + 2k) + 2k + 2 = (k + 1)(k + 2)
                          atau                k (k + 1) + 2k + 2 = k.k + 2k + 1k + 2
                          atau                k . k + k + 2k + 2 = k.k + 3k + 2

                          atau                     k. k + 3k + 2 = k . k + 3k + 2 merupakan pernyataan benar
karena (i) P(1) benar, (ii) jika P(k) benar maka P(k + 1) benar, Kesimpulannya maka P(n) benar untuk setiap n.
terbukti bahwa 2 + 4 + 6 + ... + 2n = n (n + 1) 

3. Pembuktian ketidaksamaan/ pertidaksamaan dengan metode: 
a. langsung, 
 PEMBUKTIAN LANGSUNG diterapkan untuk membuktikan teorema yang berbentuk implikasi p → q . Di sini p sebagai hipotesis digunakan sebagai fakta yang diketahui atau sebagai asumsi. Selanjutnya, dengan menggunakan p kita harus menunjukkan berlaku q. Secara logika pembuktian langsung ini ekuivalen dengan membuktikan bahwa pernyataan p → q benar dimana diketahui p benar.
CONTOH

Buktikan 3n < 2ⁿ  , setiap bilangan asli n ≥ 4

Jawab :
P(n) :  3n < 2ⁿ
Akan dibuktikan P(n) berlaku untuk n ≥ 4, n ∈ setiap bilangan asli n ≥ 4

Akan ditunjukkan P(4) benar
3.4 = 12 < 2⁴ = 16
Jadi, P(4) benar

terbukti bahwa  3n < 2ⁿ

b. tak langsung, 
 PEMBUKTIAN TAK LANGSUNG diterapkan berdasarkan nilai kebenaran suatu implikasi p → q ekuivalen dengan nilai kebenaran kontraposisinya ~q → ~p. Jadi pekerjaan membuktikan kebenaran pernyataan implikasi dibuktikan lewat kontraposisinya.
CONTOH

Buktikan 3n < 2ⁿ, setiap bilangan asli n ≥ 4

Jawab:

 p = 3n dan ingkarannya p bukan 3n

q =  2ⁿ  dan ingkarannya q bukan  2ⁿ

Akan dibuktikan bahwa bukan 3n < bukan 2ⁿ  

Akan ditunjukkan P(4) 3.4 = 12 dan ingkarannya bukan 12, serta  2⁴ = 16 dan ingkarannya bukan 16

jika P(4) bukan 12 < bukan 16 merupakan pernyataan benar maka terbukti bahwa 3n < 2ⁿ,    n ≥ 4

dengan metode pembuktian tak langsung terbukti bahwa P(n) berlaku untuk setiap bilangan asli n ≥ 4.

 
c. Kontradiksi, 
 PEMBUKTIAN DENGAN KONTRADIKSI diterapkan berdasarkan arti Suatu kontradiksi yaitu terjadi satu atau lebih pernyataan yang bertentangan.
CONTOH

Buktikan 3n < 2ⁿ, setiap bilangan asli n ≥ 4

Jika 3n < Bukan 2ⁿ  akan menjadi pernyataan salah  karena 3n < 2ⁿ  bukti 3.4 = 12 < 2⁴ = 16 pernyataan benar

pembuktian kontradiksi yang menunjukkan bahwa TERBUKTI  3n < 2ⁿ, setiap bilangan asli n ≥ 4

d. Induksi Matematika
PEMBUKTIAN DENGAN INDUKSI MATEMATIKA diterapkan berdasarkan Prinsip induksi matematika yaitu untuk inferensi terhadap pernyataan tentang n dimana n berjalan pada himpunan bilangan bulat, biasanya himpunan bilangan asli atau pada himpunan bagian bilangan asli. Biasanya pernyataan tentang bilangan asli n dinyatakan dengan P(n). 
Prinsip INDUKSI MATEMATIKA adalah: (i) P(1) benar, (ii) jika P(k) benar maka P(k + 1) benar, Kesimpulannya maka P(n) benar untuk setiap n.
Menerapkan induksi matematika adalah untuk membuktikan kebenaran implikasi p → q pada (ii). Di sini kita perlu membuktikan kebenaran pernyataan P(k+1) dengan diketahui kebenaran P(k).
 CONTOH

Buktikan 3n < 2ⁿ,  setiap bilangan asli n ≥ 4

Jawab :
P(n) :  3n < 2ⁿ
Akan dibuktikan P(n) berlaku untuk n ≥ 4, n ∈ Bilangan bulat

Langkah Dasar:
Akan ditunjukkan P(4) benar
3.4 = 12 < 2⁴ = 16
Jadi, P(4) benar

Langkah Induksi:
Asumsikan P(k) benar, yaitu
3k < 2^k,    k ≥ 4

Akan ditunjukkan P(k + 1) juga benar, yaitu
3(k + 1) < 2^k+1

3(k + 1) = 3k + 3
3(k + 1) < 2^k + 3               (karena 3k < 2^k)
3(k + 1) < 2^k + 2^k             (karena 3 < 3k < 2^k)
3(k + 1) = 2(2^k)
3(k + 1) = 2^k+1

Jadi, P(k + 1) juga benar

Berdasarkan prinsip induksi matematika, terbukti bahwa 3n < 2ⁿ , P(n) berlaku untuk setiap bilangan asli n ≥ 4.

4. Pembuktian keterbagian dengan metode: 
a. langsung, 
 PEMBUKTIAN LANGSUNG diterapkan untuk membuktikan teorema yang berbentuk implikasi p → q . Di sini p sebagai hipotesis digunakan sebagai fakta yang diketahui atau sebagai asumsi. Selanjutnya, dengan menggunakan p kita harus menunjukkan berlaku q. Secara logika pembuktian langsung ini ekuivalen dengan membuktikan bahwa pernyataan p → q benar dimana diketahui p benar.
CONTOH

Buktikan 6ⁿ + 4 habis dibagi 5, untuk setiap n bilangan asli.

Jawab :
P(n) :  6ⁿ + 4 habis dibagi 5
Akan dibuktikan P(n) benar untuk setiap n ∈ N.

6¹ + 4 = 10 habis dibagi 5  terbukti bahwa 6ⁿ + 4 habis dibagi 5, untuk setiap n bilangan asli.

Bilangan bulat a habis dibagi bilangan bulat b jika terdapat bilangan bulat m sehingga berlaku a = bm.
Sebagai contoh, “10 habis dibagi 5” benar karena terdapat bilangan bulat m = 2 sehingga 10 = 5.2. Jadi, pernyataan “10 habis dibagi 5” dapat kita tulis menjadi “10 = 5m, untuk m bilangan bulat”.

 
 
b. tak langsung, 
 PEMBUKTIAN TAK LANGSUNG diterapkan berdasarkan nilai kebenaran suatu implikasi p → q ekuivalen dengan nilai kebenaran kontraposisinya ~q → ~p. Jadi pekerjaan membuktikan kebenaran pernyataan implikasi dibuktikan lewat kontraposisinya.
CONTOH
  Buktikan 6ⁿ + 4 habis dibagi 5, untuk setiap n bilangan asli.

Jawab :
P(n) :  6ⁿ + 4 habis dibagi 5
Akan dibuktikan P(n) benar untuk setiap n ∈ N.

Akan ditunjukkan P: 6¹ + 4 = 10 dan ingkarannya bukan 10 sedangkan q : habis dibagi 5 dan ingkarannya tidak habis dibagi 5 sehinggap pernyatannya menjadi benar jika bukan 10 dan tidak habis dibagi 5 sehingga terbukti bahwa 6ⁿ + 4 habis dibagi 5, untuk setiap n bilangan asli
Bilangan bulat a habis dibagi bilangan bulat b jika terdapat bilangan bulat m sehingga berlaku a = bm.
Sebagai contoh, “10 habis dibagi 5” benar karena terdapat bilangan bulat m = 2 sehingga 10 = 5.2. Jadi, pernyataan “10 habis dibagi 5” dapat kita tulis menjadi “10 = 5m, untuk m bilangan bulat”.

 
c. Kontradiksi, 
 PEMBUKTIAN DENGAN KONTRADIKSI diterapkan berdasarkan arti Suatu kontradiksi yaitu terjadi satu atau lebih pernyataan yang bertentangan.
CONTOH

Buktikan 6ⁿ + 4 habis dibagi 5, untuk setiap n bilangan asli.

Jawab :
P(n) :  6ⁿ + 4 habis dibagi 5
Akan dibuktikan P(n) benar untuk setiap n ∈ N.

Langkah Dasar:
Akan ditunjukkan bahwa 6¹ + 4 = 10 tidak habis dibagi 5 merupakan pernyataan salah karena 10 habis dibagi 5
Berdasarkan pembuktian dengan cara kontradiksi, terbukti bahwa 6ⁿ + 4 habis dibagi 5, untuk setiap n bilangan asli.

Bilangan bulat a habis dibagi bilangan bulat b jika terdapat bilangan bulat m sehingga berlaku a = bm.
Sebagai contoh, “10 habis dibagi 5” benar karena terdapat bilangan bulat m = 2 sehingga 10 = 5.2. Jadi, pernyataan “10 habis dibagi 5” dapat kita tulis menjadi “10 = 5m, untuk m bilangan bulat”.

 

 d. Induksi Matematika
PEMBUKTIAN DENGAN INDUKSI MATEMATIKA diterapkan berdasarkan Prinsip induksi matematika yaitu untuk inferensi terhadap pernyataan tentang n dimana n berjalan pada himpunan bilangan bulat, biasanya himpunan bilangan asli atau pada himpunan bagian bilangan asli. Biasanya pernyataan tentang bilangan asli n dinyatakan dengan P(n). 
Prinsip INDUKSI MATEMATIKA adalah: (i) P(1) benar, (ii) jika P(k) benar maka P(k + 1) benar, Kesimpulannya maka P(n) benar untuk setiap n.
Menerapkan induksi matematika adalah untuk membuktikan kebenaran implikasi p → q pada (ii). Di sini kita perlu membuktikan kebenaran pernyataan P(k+1) dengan diketahui kebenaran P(k).
 CONTOH

Buktikan 6ⁿ + 4 habis dibagi 5, untuk setiap n bilangan asli.

Jawab :
P(n) :  6ⁿ + 4 habis dibagi 5
Akan dibuktikan P(n) benar untuk setiap n ∈ N.

Langkah Dasar:
Akan ditunjukkan P(1) benar
6¹ + 4 = 10 habis dibagi 5
Jadi, P(1) benar

Langkah Induksi:
Asumsikan P(k) benar, yaitu
6^k + 4 habis dibagi 5,    k ∈ N

Akan ditunjukkan P(k + 1) juga benar, yaitu
6^k+1 + 4 habis dibagi 5.

6^k+1 + 4 = 6(6^k)+ 4
6^k+1 + 4 = 5(6^k) + 6^k + 4

Karena 5(6^k) habis dibagi 5 dan 6^k + 4 habis dibagi 5, akibatnya 5(6^k) + 6^k + 4 juga habis dibagi 5.
Jadi, P(k + 1) benar.

Berdasarkan prinsip induksi matematika, terbukti bahwa 6ⁿ + 4 habis dibagi 5, untuk setiap n bilangan asli.

Bilangan bulat a habis dibagi bilangan bulat b jika terdapat bilangan bulat m sehingga berlaku a = bm.
Sebagai contoh, “10 habis dibagi 5” benar karena terdapat bilangan bulat m = 2 sehingga 10 = 5.2. Jadi, pernyataan “10 habis dibagi 5” dapat kita tulis menjadi “10 = 5m, untuk m bilangan bulat”.