ULANGAN HARIAN INDUKSI MATEMATIKA

ULANGAN HARIAN I

MATA PELAJARAN            : MATEMATIKA

KELAS/SEMESTER              : XI / 1

MATERI                                 : INDUKSI MATEMATIKA

1.       Buktikan dengan pembuktian tak langsung √2 bilangan irasional

2.       Buktikan dengan induksi matematika bahwa 1 + 3 + 5 + … + n = (2n - 1) = n²  untuk setiap n bilangan bulat positif.

3.       Buktikan dengan induksi matematika bahwa 5ⁿ− 1 dapat dibagi 4 untuk setiap   n = 1, 2, ...

4.       Buktikan dengan induksi matematika bahwa

5.       Tentukan

KUNCI ULANGAN HARIAN I

MATA PELAJARAN            : MATEMATIKA

KELAS/SEMESTER              : XI / 1

MATERI                                 : INDUKSI MATEMATIKA

1.       Dik: √2 bilangan irasional

Dit: Buktikan dengan pembuktian tak langsung

Jb:

Andaikan √ 2 adalah bilangan rasional. Akan dibuktikan bahwa √2 tidak mempunyai faktor persekutuan. Berarti √ 2 dapat disajikan dalam bentuk pecahan, yaitu:

                               à skor 3

Dengan a dan b adalah bilangan bulat serta b ≠ 0. Tanpa mengurangi keumuman bukti, andaikan bahwa a dan b saling prima atau faktor persekutuan terbesarnya adalah 1. Sehingga berlaku :

        à skor 5

Berarti "a kuadrat adalah bilangan genap, akibatnya a juga genap. Karena a genap berarti b ganjil, sebab a dan b saling prima. Berarti a dapat disajikan dalam bentuk

a = 2k      à skor 3

Untuk suatu k bilangan bulat. Berarti belaku

        à skor 5

Didapatkan "b kuadrat" genap, sehingga b juga genap. Bilangan genap adalah bilangan yang mempunyai faktor persekutuan dan ini terdapat KONTRADIKSI dengan hasil b ganjil pada pernyataan sebelumnya. Berarti pengandaian akar 2 adalah bilangan rasional SALAH atau harusnya √2 bilangan irasional. Atau Terbukti bahwa √2 bilangan irasional. à skor 4

2.       Dik: bahwa 1 + 3 + 5 + … + n = (2n - 1) = n²  untuk setiap n bilangan bulat positif.

Dit: Buktikan dengan induksi matematika

Jb:

Basis : Untuk n = 1 akan diperoleh 1 = 1² ® 1 = 1

Induksi : misalkan untuk n = k   asumsikan 1 + 3 + 5 + …+ (2k – 1) = k²

  adib. Untuk n = k + 1 berlaku   1 + 3 + 5 + …+ (2 (k + 1) – 1)                 = (k + 1)²

1 + 3 + 5 + …+ (2k + 1)                          = (k + 1)²   

1 + 3 + 5 + …+ ((2k + 1) – 2) + (2k + 1)    = (k + 1)²

1 + 3 + 5 + …+ (2k   - 1) + (2k + 1 )         = (k + 1)²

       k ² + (2K + 1)          = (k + 1)²

       k ² + 2K + 1            = k ² + 2K + 1

Kesimpulan : 1 + 3 + 5 + … + n = (2n - 1) = n²     Untuk setiap bilangan bulat positif n

3.       Dik: bahwa 5ⁿ− 1 dapat dibagi 4 untuk setiap   n = 1, 2, ...

Dit: Buktikan dengan induksi matematika

Jb:

Akan ditunjukkan bahwa 5ⁿ − 1 habis dibagi 4 untuk n = 1. Maka 5¹− 1 = 5− 1 = 4 habis dibagi 4.--> Skor 5

Asumsikan bahwa 5ⁿ− 1 habis dibagi 4 untuk n = k, juga untuk n = k + 1,

5ⁿ− 1 = (5)^k+1−1  = [5.5^k]− 1

                                    =[(1 + 4).5^k]− 1

                                    = [5^k +4.5^k]−1

                                    = (5^k− 1) + 4.5^k       à Skor 10

Terbukti bahwa 5ⁿ – 1 habis dibagi 4        à Skor 5

Karena n=k, maka jika k=1 akan berlaku,  n=k=1. Jadi, (5^k− 1) + 4.5^k = (5¹-1)+4.5¹

      = (5-1)+4.5

      = 4+20

      = 24

Jadi, 24 dibagi 4 akan  bernilai 6 berarti 24 habis dibagi 4

Berlaku pula n = k = 2.   Jadi,      (5^k− 1) + 4.5^k    = (5²-1)+4.5²

                                                                                    = (25-1)+4.25

                                                                                    = 24+100

=124

Jadi, 124 dibagi 4 akan  bernilai 31 berarti 124 habis dibagi 4

Berlaku pula n = k + 1     Jadi        (5^k+1− 1)            = (5.5^k-1)

                                                                                    = (1+4).5^k – 1

= 1.5^k.+ 4.5^k – 1    

                                                                                    = 4.5^k + 1.5^k – 1

                                                                                    = 4.5^k + (1.5^k – 1)  

Jadi, 4.5^k habis dibagi 4 dan (5^k – 1) habis dibagi 4 berarti (5^k+1− 1) habis dibagi 4

4.       Dik: Bahwa

Dit: Buktikan dengan induksi matematika

Jb:

Pertama, untuk n = 1

Nilai penjumlahan deret tersebut adalah

  (Benar)    à Skor 5

Kedua, untuk n = k

Ketiga , untuk n = k + 1

   à SKOR 10

Bagian terakhir terlihat bahwa ruas kiri dan kanan sama.

Karena langkah pertama, kedua, dan ketiga terpenuhi maka

terbukti bahwa 31 + 39 + 47 + ... + (8n + 23) = 4 n² + 27 n.    à Skor 5

5.       Dik:  

Dit: Tentukan hasilnya

Jb: i = 1 à 2 • 1³ = 2 •1 = 2                           à Skor 4

      i = 2 à 2 • 2³ = 2 • 8 = 16                         à Skor 4

      i = 3 à 2 • 3³ = 2 • 27 = 54                      à Skor 4

      i = 4 à 2 • 4³ = 2 • 64 = 128                    à Skor 4

                         à Skor 4